导数在研究函数中的应用—单调性（黄立峰）
发布时间：2018-05-21
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课题：1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性
黄立峰
一. 教学目标
1.通过实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，会利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．
2.通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律．
3.在探索函数单调性与导数关系的过程中培养学生的观察、分析、概括的能力，渗透数形结合、化归、特殊到一般等数学思想方法．
二. 教学重点与难点
1. 教学重点：利用导数研究函数的单调性．
2. 教学难点：发现和揭示导数的正、负与函数单调性的关系．
三. 教学方法与教学手段
1. 教学方法：“自主、合作、探究”教学法．
2. 教学手段： 多媒体课件辅助．
四．教学过程
1．创设情境，引入新知.
以“过山车”引入单调性，思考如何确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7的单调区间.
【问题1】如何研究函数f(x)＝2x3－6x2＋7的单调性？
2．观察探究，形成新知.
【问题2】函数的单调性是如何定义的？
第一阶段：寻找函数的单调性与平均变化率间的联系．
函数单调性定义的再认识：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有，即与同号，从而有，即，则函数在区间I上是单调增函数；当，即，则函数在区间I上是单调减函数.
【小结1】设函数的定义域为，区间，任意，都有（），则函数在区间I上是单调增（减）函数.
【问题3】能不能利用瞬时变化率（导数）研究函数的单调性呢？
第二阶段：探究瞬时变化率（导数）与函数的单调性间的联系．
[师生活动]以函数y=x2－4x＋3为例，引导其从导数几何意义的角度，借助几何画板演示寻找单调性与导数的关系.再让学生自主举出一些常见的初等函数，寻找单调性与导数的关系.
【小结2】一般地，对于函数，
如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；
如果在某区间上，那么为该区间上的减函数．
【问题4】上面是由特殊函数归纳出的结论，对于一般函数是否有这样的结论成立呢？
第三阶段：借助图形，引导学生从“形”的角度来验证，并说明此结论的严格证明要到大学才学习，有兴趣同学可上网查阅相关资料.
3．自主训练，理解新知.
活动一确定函数的单调性.
活动二确定下列函数的单调区间.
（1）；（2）.
【小结3】利用导数求函数单调性的步骤：①求函数的定义域；②求导函数；③解不等式，得单调递增区间；解不等式，得单调递减区间.
4. 回顾反思，提升能力.
【问题5】通过这节课的学习，你有哪些收获？
5. 分层作业，因材施教.
（1）必做题：课本练习1—4．
（2）选做题：利用导数研究函数单调性这一知识还可以探究函数的哪些性质？