摘要

在高中数学教学中解题教学是最基本、最重要的教学环节，三角函数是高中数学的重要内容之一，具有公式多，变化活。我们如何根据这些特点来解答三角函数问题，并从中培养学生的发散思维和创新意识，提高学习兴趣和综合能力。我们应充分运用三角函数的特点从不同的角度对同一道三角题进行分析考察，从不同的方向看问题，寻求多种多样解决问题的策略，往往能起到事半功倍，我认为，三角函数问题的解决大致可以从三个角度入手（简称三看）即 “一看角，二看名称，三看式子”，那么很多问题就可以迎刃而解。

关健词：三角函数、三看、角、名称、式子

    在高中数学教学中解题教学是最基本、最重要的教学环节，无论是学生数学概念的形成，数学命题的掌握，数学思想方法的获得，还是良好素质的培养，都离不开解题策略。三角函数是高中数学的重要内容之一，具有公式多，变化活。综合性强的特点，特别是教材改革后，在教学安排上与以前相比，呈现出如下特点：

1、适应了时代的发展，持别是新技术的发展，由于计算器、计算机的普及，三角函数值的计算，三角恒等式的变形就没有必要搞得过多、过难。

2、保留基本内容，要求适当，可以减轻学生的学习负担。

3、增加平面向量等新内容提供了保证，使学生的学习内容新一点，知识面宽一点。

这三个方面体现了轻记忆，重综合，重应用，重能力的特点。我们如何根据这些特点来解答三角函数问题，并从中培养学生的发散思维和创新意识，提高学习兴趣和综合能力。

宋代大诗人苏东坡有一首诗曰：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”形象地说明了从不同的角度去观察同一事物所得到的不同感受，而不识庐山真面目的原因是因为身在此山中而限制了视野的开阔，制约了思维的发展。而同学们在学习三角函数时遇到困难，往往是对公式不能熟练运用，不会融会贯通，不能抓住其本质联系，而出现思维断路导致卡壳。因此，我们应充分运用三角函数的特点从不同的角度对同一道三角题进行分析考察，从不同的方向看问题，寻求多种多样解决问题的策略，往往能起到事半功倍，举一反三的效果，从而避免了题海战术的困扰，又能使同学们充分体会到求解数学题的魅力和乐趣。

我认为，三角函数问题的解决大致可以从三个角度入手（简称三看）即 “一看角，二看名称，三看式子”，那么很多问题就可以迎刃而解。

一、看角

（1）把一些角转化为特殊角

例1、求sin²20⁰+sin80⁰sin40⁰的值

分析：本题中涉及20⁰，40⁰，80⁰，都不是特殊角，但我们仔细分析一下，就会发现这些角和特殊角有一定的联系，因为40⁰=60⁰-20⁰，80⁰=60⁰+20⁰

 解：原式= sin²20⁰+sin（60⁰-20⁰）sin（60⁰+20⁰）

         =sin²20⁰+(sin60⁰cos20⁰-cos60⁰sin20⁰)(sin60⁰cos20⁰+cos60⁰sin20⁰)

         =sin²20⁰+sin²60⁰cos²20⁰-cos²60⁰sin²20⁰

.        =sin²20⁰+cos²20⁰

         =

（2）利用和（差）公式进行变角，达到求值的目的

例2、已知cos()=-，,且，，求的值

分析：本题入手有点难，角似乎太碎，造成解题的思路不明朗，我们可细细分析一下，发现本题只有两处基础角，且组成三个组合角，，，，而且它们之间存在一些潜在联系：=（）-（），由此可打开解题的思路。

解： =

     =

而， ， cos()=-，，

   ，

所以， 原式=

（3）利用倍角（半角）公式，实现倍角单角化，半角单角化，尽量把所有角都转化为单角。

例3：已知，求的值

分析：本题的条件中涉及到的角仅是一个单角，而在求值式中却有二倍角和半角，因此在求值的过程中，要向条件靠拢，即将角标准化，把结论角都变成单角。

解：原式

    因为 ，所以有

当时，原式=

当时，原式=0

（4）从一些失踪角发散思维，解决问题。

例4：已知锐角，，，满足，，求的值。

分析：本题比较复杂，突破口很难找到，如果我们能够从角出发，就会海阔天空起来。在已知条件中，题目中谈到了三个角，，，而在结果中却只谈到二个角，，那么别外一个角那儿去了呢？只要想清楚这个问题，本题就解决了。

解：由题目得

              (1)

               (2)

  (1)²+(2)²

        1=()²+()²

，      1=

      因为，是锐角， 

二、看名称

  （1）利用一些三角函数性质，把正，余弦全转换成切，使之出现同名函数。

   例5：已知 ,求。

   分析：条件上只含有切，而结果却全是弦，如何使用条件就是本题的的一个难点。我们可利用三角函数之间的关系，把结果中的弦全部转化成切。

   解：=

 （2）根据实际情况，有时也要将切再转化成弦，使之出现同型函数。

   例6：求证:        

   分析：这道证明题左边全是切，右边是弦，在名称不一致，要想解决这个问题，可以把切转化成弦。

  证明：左边=右边

     得证。

三、看式子

   （1）分析式子，直接套用公式

  例7：

分析：式子完全符合两角和的公式。

    解：原式===

    （2）面对分式+分式，巧用通分

  例8：化简：

分析：式子是对两个分式求和，而本身的式子又不好化简，通分就是首选的方法。

   解：原式==

    （3）“1”的转化

 例9：求的值

解：因为 得：而

   得

    得：原式

分析：上述解法很好，不过本题有一个更巧妙的解法，就是注意在求值的式子中存在“1”，利用这点，本题的方法会更活。

解：原式

有时在一题中，同时体现以上的一种方法或几种方法。

例10：化简

 解：原式=（先看名称，在名称上，式子不统一）

        =  （再看式子，两个式子相加，能分）

       =2（再看式子，套用公式）

      =2

     =2

    = =   （接着看角，两角的差是一个特殊角）

   ==1                （最后看式子，套用诱导公式）

“一看角，二看名称，三看式子”，其实这就是我们解决问题的这三个角度，希望它能够给学习中的同学能够带来一点启示，化解大家心中对数学的难的偏见，体会到解数学题的一种奇特新颖的美感,使我们的思维之源处于活跃状态,，都能爱上数学，喜欢数学。